Греческая математика

 

<< Назад | Оглавление | Вперед >>

 
     

 

Космо- и география
Тео и антропогония
Греческий алфавит
Греческое произношение
Греческие собственные имена
Греческая математика
Список исламских астрономов
Витрувианский человек
Словарь
Кунсткамера

Речь пойдет об узкой части греческой математики, об обозначении чисел.

Греки обозначали цифры буквами алфавита. Буквенная нумерация - не греческий эксклюзив: греки позаимствовали её примерно в III в. до н.э. у финикиян (Юшкевич, хотя Томас Хит относит первое упоминание примерно к 450 г. до н.э.), а потом её повсеместно использовали и славяне, и евреи, и сирийцы, и арабы (т.н. арабские цифры - гораздо более позднее изобретение), и грузины, и армяне. У греков это обозначение называется ионийским, а до него использовалось аттическое / беотийское (по областям балканской Греции, где существовали мелкие отличия) или геродианово (по имени грамматика Геродиана, который описал её во II в. н.э.). Я не буду касаться геродиановых обозначений, потому что до античности они не дожили.

Греки использовали следующие буквенные обозначения:

(НЕ ноль, а кружок)  0            
    α 1 ι 10 ρ 100
    β 2  κ 20 σ 200
    γ 3 λ 30 τ 300
    δ 4 μ 40 υ 400
    ε 5 ν 50 φ 500
    ς (стигма) или
ϝ (дигамма)
6  ξ 60 χ 600
    ζ 7  ο 70 ψ 700
    η 8 π 80 ω 800
     θ 9 ϙ или
Ϟ
(коппа)
90 ϡ (сампи) 900

Тут алфавит исчерпывался, и чтобы считать тысячи, использовались те же знаки, что и для первого десятка от α до θ, но перед ними слева внизу ставился штрих, примерно так: \α = 1000. Больше 9000 у греков запала, однако, не хватило (и полноценного позиционного обозначения они, увы, не открыли), и 10.000 обозначается не \ι, а специальным символом M. Дальнейшие подробности больших чисел я опускаю, потому что они на практике встречались редко. Лучше немножко прокомментирую приведенный список цифробукв.

○ - это не ноль, а кружок. 0 как число появилось все-таки в Индии. Но 0 как цифра, как знак, указывающий на отсутствие целой части числа появился у греков в виде ○. Возможно, это наследие счета на греческом абаке, счетах с камешками, где в качестве пустого разряда использовался круглый камешек с дыркой, называвшийся ψηφος (что и означает "камешек").

Классический алфавит античных греков включал 24 буквы, и поскольку их не хватало на полноценное обозначение чисел до 1000 (а нужно 9 x 3 = 27), греческие математики добавили три архаичные буквы, вышедшие из употребления еще в IV в. до н.э., до формирования нумерации: дигамму, коппу и сампи.

Дигамма ("двойная гамма", она же, в раннем варианте, вау / вав от исходной финикийской буквы) ϝ звучала как звонкое w. Стигма ς - это поздний византийский курсивный вариант дигаммы. Зачем он был нужен в поздневизантийкий период (после 1000 годов), если исходная дигамма к тому времени уже полтора тысячелетия не существовала, я не понимаю. Стигма очень похожа на концевую сигму σ -> ς (сигма в конце слова в современном греческом), но формально это разные буквы. Формально же, стигма - это лигатура σ + τ. Ну и наконец, я не знаю этимологической связи между "стигмой" и "стигматами".

Коппа ϙ - это глухой "к", от которого растет латинское q. Позднее начертание коппы, применяемое и в юникоде, похоже на молнию - Ϟ (в некоторых кодировках отображается "обычной" коппой), но для чисел оно не используется.

И последняя дополнительная буква греческой арифметики, сампи ϡ. Звучала, вероятно, как [с], вытеснена сигмой.

Вернемся однако ж к математике.

Чтобы отличить на письме числа от текста, над ними или ставилась черта: 123 = ρκγ, или они закрывались верхней засечкой: 456 = υνς/.

Таким образом греки обозначали целые числа.

Долгое время греки не считали дроби числами, а воспринимали их как действия над целыми, как операции с частями целого числа. Четвертая (часть) -> 4-ая -> δων, третья (часть) -> 3-я -> γος: греки поступали в математических текстах точно так, как поступаем сейчас мы на письме, прибавляя к числу-основанию грамматический суффикс в надстрочном регистре. Для сокращения суффикс постепенно заменился штрихом или двойным штрихом: 1/4 = δ' или 1/3 = γ". Были и другие варианты надстрочных символов.

Две трети могли написать так: β γος или так: β γ'. Но такое обозначение несло двузначностm понимания, ведь это же выражение - β γ' - можно было прочитать и как 2 1/3! Понять значение можно было только из контекста, вникая в математический смысл текста.

По этой или по иной причине, примерно во втором веке до нашей эры пришли к греки знакомой нам записи дроби в виде числителя и знаменателя друг над другом. Правда, они располагали их обратным образом?

знаменатель наверху, числитель внизу:
1 3/4 = α δγ.
Позже в обиход начало входить знакомое нам обозначение, называвшееся "индийским", числитель наверху, знаменатель внизу. Отсюда пошли наши обыкновенные дроби:
1 3/4 = α γδ.

Это было вполне удобное обозначение натуральных дробей. Но греки использовали и другие способы.

Александр Македонский завоевал Египет в 30-х годах IV в. до н.э. и основал в 332 году Александрию, ставшую новым центром эллинистической культуры. К этому времени египетская математика безнадежно отстала от греческой, но тесное взаимодействие традиций оказывало влияние. В частности, греки начали применять египетские дроби.

Египтяне использовали так называемые аликвотные дроби, или основные, или единичные - это дроби с числителем единица: 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. Чтобы в счете получить иные дроби, необходимо суммировать несколько основных: 3/4 = 1/2 + 1/4, 8/15 = 1/3 + 1/5, 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301.

В арифметических расчетах египетские дроби крайне неудобны, хотя, конечно, математики придумали способы и приемы облегчить себе жизнь (Ван дер Варден даже считает, что это стало одним из ограничителей развития египетской математики; мне, однако, представляется, что если бы необходимость в том была, были бы проведены соответствующие нормативные реформы), но в качестве константных значений египетские дроби можно было использовать. Так, в звездном каталоге "Альмагеста" (137 г.) Птолемей применил египетские дроби и ничего не боялся; по всей видимости, египетские дроби были и в каталоге Гиппарха (139 г. до н.э.).

Греки взяли идею аликвотных дробей у египтян, но использовали, конечно, свои родные буквенные обозначения. Основная дробь обозначалась штрихом:
1/2 -> β'
1/3 -> γ'
1/4 -> δ' и т.д.

Сумма основных дробей, формировавшая произвольную дробь, выглядела так:
3/4 = 1/2 + 1/4 -> β' δ' (или так: β' δx)
8/15 = 1/3 + 1/5 -> γ' ε'
2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301 -> μβ' πς' ρκθ'

Наконец, целая с дробью представлялась греками следующим образом:
1 3/4 = 1 + 1/2 + 1/4 -> α β' δ'.

Для двух часто употребимых дробей у греков были специальные обозначения:
1/2 -> обозначение 1/2, L' (происхождение неясно) или Ϲ' / Ͻ' (это просто половинки беотийского обозначения единицы ○, в свою очередь, образовавшегося от слова "обол" [Томас Хит])
3/4 -> обозначение 3/4. Именно этот крючочек заинтересовал меня при изучении "Альмагеста" и побудил изучить вопрос греческих обозначений чисел подробнее, но происхождение его так и осталось не ясно. Возможно, это лигатура Γβ, восходящая к обыкновенным дробям в "индийском" написании, но я не нашел этому подтверждения.

Египтяне иногда употребляли специальный иероглиф для 3/4, но подобное греческое употребление мне не встречалось.

Птолемей подтверждал, что использовать в расчетах греческие дроби неудобно. Для расчетов они и не использовались, у греков было мощное продвинутое средство: шестидесятеричные дроби.

Шестидесятеричная система счисления была придумана шумерами еще в III тысячелетии до нашей эры и унаследована вавилонянами. Не буду отвлекаться на её ближневосточную историю, а перейду сразу к грекам: греки, я полагаю, познакомились с этой системой примерно в VII веке до н.э., с налаживаем культурных контактов со Междуречьем. Однако, применяли они её только в приложении к дробям.

Вавилонская система эквивалентна наше десятеричной системе, только в её основании лежит на десять, а шестьдесят. Шестидесятеричные дроби вполне ясны, это дроби с основанием 60:
1/60,
1/602 = 1/3600,
1/603 = 1/216000 и т.д.

Понятно и их использование, вот корень из трех (это конкретный пример из Птолемея):
√3 = 1 + 43/60 + 55/602 + 23/603 -> α μγ' ηε" κγ‴ .

Обратите внимание на два факта.

Во-первых, оперировать с шестидесятеричными дробями было исключительно просто, не сложнее, чем с десятичными. Птолемей по словам Ван вар Вардена, обходится с ними "виртуозно", нигде, правда, не описывая конкретную технику. Однако античные комментаторы подробно объясняют эти приемы.

Во-вторых, большое основание вавилонских дробей позволяет компактно записывать дробные числа, так, приведенное значение корня из трех, включающее три дроби, верно до седьмого знака после запятой в современной десятичной записи.

Кстати, о запятых.

Историки математики воспроизводят вавилонские дроби, отделяя целую часть точкой с запятой и шестидесятеричные дроби запятыми, вот так:
√3 = 1 + 43/60 + 55/602 + 23/603 = 1; 43, 55, 23.

Ну и наконец, заметьте: вавилонские дроби в греческой записи точно эквивалентны современному обозначению углов, географических координат и времени! Вот, например, координаты Москвы (широта и долгота) в современном и древнегреческом обозначении:
55° 45' 21" -> νε με' κα",
37° 37' 04" -> λζ λζ' δ".

Резюме

  1. Для обозначения целых чисел греки использовали десятичные непозиционные буквенные обозначения.
  2. Для обозначения дробей греки использовали три способа:
    •  обыкновенные дроби они обозначали, помещая числитель под знаменателем
    • египетские аликвотные дроби, отмечая их штрихом, обычно для константных величин
    • вавилонские шестидесятеричные дроби, отмечая их штрихами соответственно разряду, для вычислений.

Источники

  • Б. Л. ван дер Варден, "Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции".
  • "Истрия математики с древнейших времен до начала XIX столетия" в трех томах под редакцией А.П. Юшкевича.
  • "Истрия греческой математики" сэра Томаса Хита.
  • Э. Кольман "История математики в древности"

[<< Назад] [Оглавление] [Вперед >>]

 

MMIV - MMXVI

astromyth (c)

tau-сайт (с)

taurusek@hotmail.ru

 

Победитель конкурса Звезды АстроРунета-2009: Лучший тематический сайт по астрономии

Призер конкурса ЗАРЯ—2007

24 марта 2016